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| Nobelpreisträger für Wirtschaft 1997 |
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Das Problem
Versuche zur Bewertung von
Derivaten haben eine lange Geschichte. Bereits im Jahre 1900 stellte die
Dissertation des französischen Mathematikers Louis Bachelier einen eigenen
Ansatz vor; jedoch wies seine Formel verschiedene Mängel auf. Nachfolgende
Forschungen handhabten die Bewegungen von Aktienpreisen und Zinssätzen
erfolgreicher. Doch litten all diese Ansätze an demselben grundlegenden
Unzulänglichkeit: der inkorrekten Behandlung von Risikoprämien.
Der
Wert einer Option auf den Kauf oder Verkauf eines Anteils hängt von der
unsicheren Entwicklung des Anteilspreises bis zum Fälligkeitstag ab. Es
liegt daher nahe anzunehmen - wie es frühere Forschungen taten - dass die
Bewertung einer Option die Festlegung einer Risikoprämie erfordert, so wie
es bei der Bewertung physischer Investitionsprojekte mit unsicherem
Ertragspotenzial geschieht. Die Auswahl einer Risikoprämie ist jedoch
insofern schwierig, als sie von der Haltung des Investors zum Risiko
abhängt. Während diese theoretisch stringent definiert werden kann, ist
sie in der Realität schwer oder gar nicht zu beobachten.
Die
Methode
Black, Merton und Scholes leisteten einen entscheidenden
Beitrag zur Forschung, indem sie zeigten, dass die Festlegung einer
Risikoprämie in Wahrheit überflüssig ist, wenn es um die Bewertung von
Optionen geht. Dies bedeutet keineswegs ein Verschwinden der Risikoprämie;
stattdessen ist sie bereits im Preis der Aktie inbegriffen.
Die
Idee hinter dieser Bewertungsmethode kann folgendermaßen beschreiben
werden:
Als Beispiel mag eine sogenannte europäische Kaufoption
dienen, die das Recht zum Kauf eines Anteils an einer bestimmten Firma zum
Zuschlagspreis von $ 50, heute in drei Monaten, verleiht. Der Wert dieser
Option hängt offensichtlich nicht nur vom Zuschlagspreis ab, sondern auch
vom heutigen Preis der Aktie: Je teurer die Aktie heute ist, desto größer
die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Preis in drei Monaten $ 50 übersteigt. In
diesem Falle lohnt die Ausübung der Option. Angenommen, der Preis der
Option steigt um $ 1, wenn der Aktienpreis um $ 2 steigt, so kann ein
Investor, der eine Anzahl von Anteilen an der betreffenden Firma besitzt,
jedes Risiko einer Veränderung des Aktienpreises vollständig eliminieren,
indem er zwei Optionen für jeden seiner Anteile kauft (schreibt). Da sein
so erstelltes Portfolio risikobereinigt ist, muss das von ihm investierte
Kapital exakt denselben Ertrag abwerfen wie ein Schatzbrief mit
dreimonatiger Laufzeit. Wäre dies nicht der Fall, so würde der Handel mit
Arbitragen die Erwirtschaftung eines risikobereinigten Profites
grundsätzlich ausschließen. Rückt jedoch der Fälligkeitstag näher und der
Preis der Aktie ändert sich, so ändert sich auch die Relation zwischen dem
Preis der Option und dem des Anteils. Um ein risikobereinigtes
Optionen-Portfolio zu unterhalten, muss der Investor daher schrittweise
Veränderungen in dessen Zusammensetzung vornehmen.
Unter
Berücksichtigung einiger technischer Prämissen kann man diese
Argumentation zur Aufstellung einer partiellen differentialen Gleichung
verwenden und gelangt so zur Black-Scholes-Formel. Die Bewertung anderer
Derivate geschieht auf ähnliche Weise.
Die
Black-Scholes-Formel
Die Formel für eine europäische Kaufoption
lautet:
wobei
die Variable d definiert wird als
Nach
dieser Formel ergibt sich der Wert der Kaufoption C aus der Differenz
zwischen dem erwarteten Anteilswert - dem ersten Term auf der rechten
Seite - und dem erwarteten Preis - dem zweiten Term - falls das
Optionsrecht zum Fälligkeitstag ausgeübt wird. Die Formel besagt, dass der
Wert der Option im selben Maße steigt wie der gegenwärtige Preis S, die
Volatilität des Anteilspreises (gemessen nach ihrer Standardabweichung)
sigma, der risikobereinigte Zinssatz r, die Dauer bis zum Fälligkeitstag t
und die Wahrscheinlichkeit der Ausübung des Optionsrechts (bewertet nach
der normalen Distributionsfunktion N). Ferner steigt der Wert der Option
im selben Maße, wie der Zuschlagspreis L abnimmt.
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