Logikrätsel: Mathematisches Paradoxon?
Handelt es sich bei der folgenden Gleichungsumstellung um ein mathematisches Paradoxon?
Handelt es sich bei der folgenden Gleichungsumstellung um ein mathematisches Paradoxon?
Ersetzt man in der Gleichung 1+2=3 die Zahlen durch die Variable a,b,c und führt die folgenden Umformungen der Gleichung durch, so erhält man eine Ungleichung. Steckt wirklich ein Fehler in dem Beweis?
1 = a
2 = b
3 = c
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1.)
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1+2
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= 3
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Ersetzen der Zahlen durch die Variablen a,b,c |
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2.)
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a+b
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= c
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| *(c-a) |
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3.)
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ac-a²+bc-ab
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= c²-ca
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| -cb |
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4.)
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ac-a²-ab
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= c²-ca-cb
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Ausklammern von a und c |
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5.)
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a(c-a-b)
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= c(c-a-b)
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| :(c-a-b) |
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6.)
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a
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= c
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Einsetzen der Zahlenwerte |
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7.)
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2
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= 3
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q.e.d |
Lösung
Das ganze ist auf den ersten Blick sehr verblüffend, da alle Umformungen der Gleichung korrekt durchgeführt zu sein scheinen. Tatsächlich wird in Zeile 5 jedoch keine Äquivalenzumformung vorgenommen. Da c-a-b = 3-1-2 null entspricht, wird an dieser Stelle unzulässigerweise durch null geteilt.
Dieses Beispiel ist eine wunderbare Mahnung, bei jeder Äquivalenzumformung auch wirklich daran zu denken, dass der Fall einer Division durch null ausgeschlossen werden muss.