was ich nicht kapiere: wenn der sohn den vater im ersten spiel nicht schlägt, hat er im dritten spiel noch weniger chancen, denn für den vater ist das dann erst das zweite, er ist also weniger ermüdet

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Jede Wette, dass das bei denen in der Familie total korrekt abläuft.
Nach jedem Wettkampf erstmal 2 Tage Spielpause.

Zu Erziehungsstil:
Die Höhe des Taschengeldes vom sportlichen Erfolg abhängig zu machen, ist
endlich mal ein leistungsorientierter Erziehungsansatz.
Da fällt es nachher auch leichter, sich in der Wirtschaft zurecht zu finden.

Vielleicht ist es im Job aber wesentlich klüger den Chef beim Tennis
gewinnen zu lassen. :-)

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wenn er zuerst gegen die mutter spielt , ist das zweite spiel( für den vater das erste) auch nicht leichter.
er tritt also lieber zweimal gegen den besseren an
und einmal gegen den schwachen .
sollten noch fragen sein, einfach malden:-)

Gruß stroppy

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wenn der vater besser spielt als die mutter, ist es schwachsinn, 2x gegen den vater anzutreten.

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Sowohl der Logik als auch Wahrscheinlichkeitsrechnung nach sollte das Kind zuerst gegen die Mutter spielen.

Sei p1 die Wahrscheinlichkeit, gegen den ersten Gegner zu gewinnen, und p2 gegen den zweiten Gegner. Die Wahrscheinlichkeit W für das Ereignis "Kind gewinnt mind. zwei Spiele in Folge (bei drei Runden, abwechselnde Gegner)" ist dann:
W = p1*p2*p1 + p1*ps*(1-p1) + (1-p1)*p1*p2
= 2*p1*p2 - p2*p1^2 (T)

Startet das Kind mit dem anderen Gegner, permutieren in dem letzten Term T die Indizes der Variablen p1 und p2, d.h. p1 ist zu erstzen durch p2 und umgekehrt.
Aber T ist nicht symmetrisch bzgl. Vertauschung der Variablen !
(Der *Wert* von T könnte aber trotzdem invariant unter Vertauschung sein)

T muß maximiert werden, wobei der Wert des Teilterms (2*p1*p2) unter Permutation der Indizes invariant ist und somit nicht berücksichtigt werden muß.
Also reicht es, den folgenden Term zu *maximieren*
S = -p1*p2^2.

Wegen 0 <= p1, p2 <= 1 ist dies gleichbedeutend mit der *Minimierung* des
Terms
R = p1*p2^2 = (p1*p2)*p2.
Der geklammerte Teilterm ist wiederum invariant unter Vertauschung der
Variablen. Es reicht also, den Rest-Faktor p2 minimal zu wählen. p2 aber ist
nach Definition die Wahrscheinlichkeit, gegen den *zweiten* Gegner zu
*gewinnen*.

Fazit: Das Kind sollte gegen den *Vater* im zweiten Spiel spielen.

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....dolles Forum, das schneidet ja Antworten ab.

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Verzeihung Leute,

in meiner ausführlichen rechnerischen Lösung ist ein Flüchtigkeitsfehler enthalten:
Beim Übergang von Term T auf Term S habe ich versehentlich Indizes vertauscht. Statt T muß vielmehr der folgende Term maximiert werden:
-p2*p1^2 (T')

Wegen 0

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Das erste Spiel sollte gegen den Vater gespielt werden.
Begründung:

1. Gegen den Vater muß zwingend gewonnen werden
2. Unaghängig davon wie das erste Spiel endet muß das zweite Spiel gewonnen werden.
3. Die Wahrscheinlichkeit einen schwächeren Gegner zu besiegen ist höher als einen stärkern zu besiegen.
4. Um die Taschengelderhöhung zu erreichen muß der Junge davon augehen die Mutter besiegen zu können.
5. die Gewinnchance gegen den Vater steigt mit der Anzahl der Versuche.

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Erstes (und drittes) Spiel gegen den Vater, so weit so gut.
Einen Flüchtigeitsfehler (mit drastischen Folgen) in der Rechnung habe ich unlängst berichtigt.

Deine qualitative und vermeintlich logische Begründung dagegen scheint mit reine Willkür bzw. Beliebigkeit zu sein.
Warum z.B. steigt die Wahrscheinlichkeit eines Sieges gegen den Vater mit der Anzahl der Versuche !?
Jedes Spiel ist ein unabhängiges Ereignis. Unmittelbar vor dem Spiel hat das Kind immer wieder *ein und dieselbe* Wahrscheinlichkeit, gegen den Vater zu gewinnen (unter der Annahme, daß das Spielvermögen von Vater und Sohn konstant ist usw.).

Im übrigen geht 's nicht darum, zweimal zu gewinnen.
Wesentlich ist, daß (mind.) zweimal *in Folge* (!) gewonnen werden soll.
Sollen einfach nur zwei Spiele gewonnen werden, dann sollte das Kind so oft wie möglich gegen die Mutter spielen - und folglich zuerst gegen diese spielen (da hier eine *ungerade* Anzahl von Spielen gespielt wird).

MfG,

Mr. Konkret.

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jaja das mit den wahrscheinlichkeiten ist schon schwierig

Beispiel Münze werfen:
die wahrscheinlichkeit, dass das von mir vorhergesagte ereignis "kopf" eintritt liegt bei 50%.
diese wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen wurf ändert sich zwar nicht mit steigender anzahl von versuchen, allerdings steigt die wahrscheinlichkeit, dass das ereignis "kopf" in der ergebnismenge vieler versuche enthalten ist.
jeder münzwurf ist hier ebenso ein unabhängiges ereignis wie jedes tennisspiel

umkehrschluß: die wahrscheinlichkeit mit einer münze das ergebnis "kopf" zu erreichen liegt bei 50%.
träfe deine einschätzung zu, wäre die wahrscheinlichkeit mit 100 würfen auch nur ein einziges mal das ergebnis "kopf" zu erzielen dieselbe.

Ist sie das?

mfg

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p.s.: dass es "im übrigen" darum geht zwei spiele in folge und nicht zwei spiele überhaupt zu gewinnen ist ja ganz und gar richtig, allerdings muß das zweite von drei spielen gewonnen werden, weil ansonsten der gewinn von zwei spielen in folge nicht möglich ist!

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Also miener Meinung nach sollte der Sohn mit dem Vater beginnen. Unabhängig von der Wahrscheinlichkeit ist die Bereicherung der Spielerfahrung ungemein wichtig.Davon ausgehend, dass der Sohn das erste Spiel gegen den Vater verliert und er das zweite Spiel gegen die Mutter gewinnt,da diese schlechter spielt als der Vater, hat er durch die vorangegangenen Spiele Spielerfahren gewonnen und er kennt das Spiel seines Vaters und kann sich danach richten.
Dies ist zwar keine mathematische Lösung, aber da wir uns hier in einem wirtschaftswissenschaftlichen Forum befinden halte ich eine solche Betrachtungsweise für ebenso berechtigt. Mfg

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Hi,

ich komme (unter der Vernachlässigung von Erschöpfung, Lernkurve, etc.) auch auf die Lösung, daß der Sohn erst gegen die Mutter spielen sollte.

Begründung:
Wie ein Kollege hier schon richtig bemerkt hat, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit 2 mal hintereinander zu gewinnen mit:
p1*p2 + (1-p1)*p2*p1

mit p1= Wahrscheinlichkeit gegen Spieler 1 zu gewinnen und p2 = Wahrscheinlichkeit gegen Spieler 2 z gewinnen.

Zum Nachvollziehen dieser Formel eignet sich ein Entscheidungsbaum, den ich hier kurz in Prosa skizzieren möchte.

p1*p2 ist der Fall, in dem der Sohn die ersten beiden Spiele gewinnt. In diesem Fall kann auf das 3.Spiel verzichtet werden, da die Siegbedingung schon eingetreten ist. (1-p1)*p2*p1 ist der Fall, in dem der Sohn das erste Spiel verliert, das 2. Spiel gewinnt und das 3. Spiel gewinnt. Durch Addition beider Wahrsheinlichkeiten komme ich auf die Wahrscheinlichkeit, daß der Sohn 2mal hintereinander gewinnt.

Die Wahrscheinlichkeit 2 Spiele zu gewinnen, falls der Sohn mit der Mutter beginnt, ist also
W1=m*v+(1-m)*v*m

und falls er mit dem Vater beginnt

W2=v*m+(1-v)*m*v.

Mit v>m (Papa spielt besser als Mama) folgt jetzt W1>W2. Heißt er sollte mit der Mutter beginnen.

Kurze Anmerkung zu Aussagen wie "Er soll mit dem Vater anfangen, da er dann 2 mal gegen ihn spielen kann und doppelte Chancen hat gegen ihn zu gewinnen" sind zwar nett, helfen aber nicht weiter, da sich solche Argumente auch für die andere Strategie finden lassen. So a la "Er soll 2 mal gegen die Mutter spielen, da er so insgesamt mehr Chancen hat, Spiele z gewinnen."
Und gerade bei Wahrscheinlichkeitsrechnung vertut man sich schnell mit solchen Einschätzungen.

Zum Schluß: Ob sich der Sohn bei Einbeziehung von Lerneffekten und Erschöpfung anders entscheiden sollte, hängt dann auch davon ab, wie groß diese beiden Effekte sind und wie unterschiedlich die Spielstärke von Mama und Papa ist.

Bin gespannt auf weitere Kommentare!
MfG

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Und auch hier noch eine kurze Korrektur:

WiWi-Treff Leser schrieb:

Hi,

ich komme (unter der Vernachlässigung von Erschöpfung,
Lernkurve, etc.) auch auf die Lösung, daß der Sohn erst gegen
die Mutter spielen sollte.

Begründung:
Wie ein Kollege hier schon richtig bemerkt hat, ergibt sich
die Wahrscheinlichkeit 2 mal hintereinander zu gewinnen mit:
p1*p2 + (1-p1)*p2*p1

mit p1= Wahrscheinlichkeit gegen Spieler 1 zu gewinnen und p2
= Wahrscheinlichkeit gegen Spieler 2 z gewinnen.

Zum Nachvollziehen dieser Formel eignet sich ein
Entscheidungsbaum, den ich hier kurz in Prosa skizzieren
möchte.

p1*p2 ist der Fall, in dem der Sohn die ersten beiden Spiele
gewinnt. In diesem Fall kann auf das 3.Spiel verzichtet
werden, da die Siegbedingung schon eingetreten ist.
(1-p1)*p2*p1 ist der Fall, in dem der Sohn das erste Spiel
verliert, das 2. Spiel gewinnt und das 3. Spiel gewinnt.
Durch Addition beider Wahrsheinlichkeiten komme ich auf die
Wahrscheinlichkeit, daß der Sohn 2mal hintereinander gewinnt.

Die Wahrscheinlichkeit 2 Spiele zu gewinnen, falls der Sohn
mit der Mutter beginnt, ist also
W1=m*v+(1-m)*v*m

und falls er mit dem Vater beginnt

W2=v*m+(1-v)*m*v.

Mit v>m (Papa spielt besser als Mama) folgt jetzt W1>W2.
Heißt er sollte mit der Mutter beginnen.

Es muß heißen m>v, da die Wahrscheinlichkeit gegen die Mutter zu gewinnen größer ist. Und daher auch W2>W1! Also Strategie 2!

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Das Kind sollte zweimal mit dem Vater spielen, da:
Das Kind muss zwei Spiele hintereinander gewinnen. Falls es nur einmal gegen den Vater, also in dem 2. Spiel des Kindes, spielt, muss das Kind das Spiel gewinnen, sonst gibts kein Geld. Sollte er aber zweimal die Möglichkeit haben gegen den Vater zu spielen, so gewinnt es warscheinlich das 2. Spiel und hat zwei Chancen das Taschengeld zu erhöhen.

2. Spiel=Vater : 1 Chance
   2.Spiel=Mutter : 2 Chancen

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