... geht immer dann, wenn man eine _beliebige_ Primzahl größer 3 aussucht, diese quadriert und um eins vermindert.

Bsp:
5*5-1=24 (1*24)
11*11-1=120 (5*24)
19*19-1=360 (15*24)
10039*10039-1=100781520 (4199230*24)

Stimmt das, und wenn ja warum?

MfG
Karl

Das stimmt immer.
Es gilt p^2-1=(p+1)*(p-1) und 24=2*3*4
Sowohl (p+1) als auch (p-1) sind gerade.
Ausserdem ist entweder (p+1) oder (p-1) durch 3 teilbar und das gleiche gilt für den Teiler vier. Damit sind alle Teiler untergebracht.

Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive ganze Zahl lässt sich - abgesehen von der Reihenfolge - durch ihre Primfaktoren darstellen

"Damit sind alle Teiler untergebracht" ist nicht ausreichend. zZ ist, dass die teiler auch nach der teilung noch unterghebracht werden können

zZ ist, dass die teiler auch nach der teilung noch
unterghebracht werden können
??
In *jedem Fall* enthält das Produkt die Faktoren 2,3 und 4, also allgemein 24*x, und somit ist es durch 24 teilbar. Eher sollte die Herleitung der Faktoren etwas deutlicher ausfallen:
p-1, p und p+1 sind drei aufeinanderfolgende Zahlen. Für diese gilt, dass jeweils eine davon durch 3 teilbar ist. P ist Primzahl, damit nicht durch 3 teilbar, somit muss es p-1 oder p+1 sein. P ist auch ungerade, also müssen p-1 und p+1 aufeinanderfolgende *gerade* Zahlen sein. Sie lassen sich also als n*2 und (n+1)*2 darstellen, und wenn n gerade ist, ist das erste Produkt, wenn das zweite Produkt durch 4 teilbar.

Der eigentliche Trick ist Fragestellung mit den Primzahlen, denn sie sind eine hinreichende, aber keineswegs notwendige Bedingung. Die allgemeine Form würde lauten: Jede ungerade, nicht durch 3 teilbare Zahl zum Quadrat minus 1 ist durch 24 teilbar. Bei dieser Fragestellung fällt man aber nicht darauf rein, mit irgendwelchen Primzahleigenschaften zu hadern ;-)

Das gehört zur Wohlordnung. Es stimmt.